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数学应用题解题策略分析
更新时间:2004/12/24  作者:松江一中 朱利剑  阅读:5858次  

(因此文有大量数学公式、图片 故浏览全文请看附件1)

利用数学的知识解决实际问题和从实际问题中归纳出数学问题是当前数学教学中的一个热点问题,它对培养学生的创新能力有举足轻重的作用。



一、 数学应用题在数学教学中的意义



当今世界科学技术突飞猛进,知识经济初见端倪,知识经济时代的特点对人才提出新的标准:新时代的人才不仅要有强大的学习能力,而且要有运用知识的能力,不仅要有强大的思维创新能力,而且要有准确恰当的语言表达能力;不仅要有敏锐的发现和接受信息能力,还要有选择处理信息的能力,此外还应有社会交际能力、合作能力和推销自己的能力等。而数学应用能力的培养正是实现创新能力和实践能力的重要途径,因此在中学数学教学中,要重视数学知识的应用意识,激发学生兴趣,提高应用数学知识解决实际问题的能力,使学生成为在知识经济时代的有作为的人。



把一个生产、生活中的实际问题,经过适当地刻化、加工、抽象表达成一个数学问题————构建数学模型,进而选择适当的数学方法来求解,这就是数学应用题。



由于数学应用的广泛性、实践性,决定了数学应用题对学生的综合能力、创造能力的要求也比较高,学生在解答应用题时常常出现一些困惑,以下就学生在解答应用题时出现的问题及解答应用题的一些策略作以分析。



二、学生在解答应用题时出现的一些问题



1、读不懂题意。对问题中描述的事物理解不清,无从下手。原因是知识面狭窄,对问题背景不了解,再加上不会前后联系,影响思维。



2、不会处理数量关系。题目中的数量关系,不知道有什么用、怎么用。各种数量关系中,体现数学关系的量是什么?有何联系,不清楚。原因是不会审题,不善于将问题与有关信息联系。



3、不会提炼主题。有些题目情境叙述较长,涉及社会信息相当多,往往提出系列问题,考生对题目中的繁杂关系顾此失彼,条件找不全,无法形成正确的思路,找不到解决问题的突破口,看不出整体是由哪几个具体问题有序的联系在一起的,从而无法建立数学模型。





三、应用题的解题策略



1、过好阅读理解这一关



应用题是指数学知识在非数学领域的运用,文字表述是不可缺少的。那么阅读理解题意就是第一关。



借鉴语文阅读方法,提高数学阅读理解能力,是一个有效的途径。在语文课中,经常利用加点画线,归纳大意,缩写改写等方法达到理解文章的目的。因此在阅读数学应用题时,可用加点画线的方法强调重点内容,再连贯读出,形成完整的数学问题;也可划分层次,归纳大意,从背景材料中,提炼出需要解决的问题,对应用题去掉枝叶,抓住主干,保留题目中的数量关系和空间形式,将实际问题等价转化为数学问题建立数学模型。



举例说明如下:



例1(1997年上海高考题) 公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子oa,o恰在水面中心,oa=1.25m,安装在柱子顶端a处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过oa的任一平面上抛物线路径如图1所示,为了使水流漂亮,设计成水流在到oa距离为1m处达到距水面最大高度2.55m,如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?









分析 可用上述加点的方法进行阅读理解,归纳缩写为:“柱子oa垂直水面,o为水面中心,oa=1.25m,从顶端a喷出的水流沿抛物线落下,在距oa距离为1m处达到最大高度2.25m,问水池的半径至少要多大,水才不会流出池外?再等价转化为:“已知抛物线 ,过点a(1,1.25),且当x=1时,y有最大值2.25,求y=0时,x的

值(x>0),如图2。”从而转换成一个数学问题。



2、掌握以下几种常用的数学模型



(1)利用函数与方程建模



函数与方程的思想是现实生活中最常见的,而最优化问题常常通过函数的最值问题来实现,建立目标函数或列方程,寻求数量间的关系,确定变量的取值范围,利用相关知识去解决实际问题,在近几年高考试题中经常出现。如1993年的游泳池造价问题,1994年的运输成本最低问题等都是建立函数模型,1995年的养鱼问题给出了方程模型。



例2 某厂新建厂房,准备利用一面长14m旧墙,建造平面图形为矩形,面积为126m2的厂房。工程条件:①修1m旧墙的费用是建1m新墙费用的1/4;②用拆1m旧墙的材料建1m新墙的费用是纯建1m新墙费用的1/2;③建门窗与建新墙的费用相同,问如何利用旧墙才能使建墙费用最低?



分析 如何利用旧墙是问题的关键,新建厂房墙壁由三部分构成:一是保留的旧墙,二是用旧墙拆下的材料修建的新墙,三是新墙。设保留xm旧墙(x∈<0,14>),则利用拆去的旧墙材料修建的新墙为(14-x)m 。另外新建墙为 ,假定每米新墙造价为a元,建墙总造价为y元,可建立等式: 。从而构造出函数,不难求解。



(2)利用不等式建模



在解决投资经营、人口控制、生产规划、运输成本等问题中,常常可转化为不等关系,来实现最优化目的。1996年高考的应用题是用不等式建模的代表。2000年上海卷gdp增长与人口增长关系应用题也属此类。



例3 由于对某种商品收税,商品卖出的个数减少了5x%,税率是新定价的10%。要使现在的售货金额在扣除税款后,比过去的售货金额多,求x的取值范围。



分析 假设原价为a时,商品卖出个数为b,由题意得:



解之即可。



(3)利用数列建模



在研究增长率、降低率、银行利率、分期付款等与整年或整月有关的问题时,常常归结为数列问题去解决。



例4 某鱼塘原年产量为a,采用先进方法养鱼,预计第1年产量增加200%,以后的每年增长率是前一年增长率的一半,由于污染因素,预计每年损失年产量的10%,试问:该鱼塘的年产量是否是逐年提高的?若是,给出证明,若否,从哪年起,年产量开始下降?



分析 假设逐年产量依次为:



……



,构成一个数列,求出通项公式比较 的大小即可。易知有 当 时; 〈0,由 ,所以 ,从第6年开始产量下降。



(4)利用几何图形建模



对航海、运输、建筑、测量等问题,必须转化为几何模型,利用图形的性质及方程、三角、不等式等知识去解决,这在高考题中也时有所见,如1993年的圆形广场照明问题,1989年的光线反射问题等。



例5 某展室里有一幅画,其底框高于你眼睛b m,画高为a m,因为视角越大观察效果越好,问你应站在距离墙壁多远的地方,观察效果最好?





分析 设画高为ab,眼睛的位置为p点,如上图建立平面直角坐标系,则a(0, a+b)、b(0, b)。设这点坐标为(x, 0)(x>0),视角即为∠apb=α此时问题转化为,当|op|=x为何值时, ∠apb=α最大?



设 , 易知 ,且 所以 当且仅当 时, 取得最大值 ,此时α取得最值大值。即当你站在距墙壁 m时,观察效果最好。



3、更新观念,挑战非常规问题



随着对考查能力的不断提高,各种非常规的能力题开始出现,1998年出现下面的应用小题就是一例。



例6 向高为h的水瓶中注水,注满为止,如果注水量v与水深h的



函数关系的图如图所示,那么水瓶的形状是:…………………………( )













分析 本题要求根据左边函数的大致图像,对右边四个形状容器可能相等的容器作出判断,这里没有数值的运算、甚至没有严格的形式推理。几何体(c)在中学里根本没出现过,更谈不上计算体积,哪到底怎么解此题呢?在这里,生活常识、图像的变化趋势是判断的依据。若过oh中











点以作mn交曲线于n,从左图图象可以看出:高度一半时,体积过半,只有选(b)才能符合要求。



当然,我们还有许多其它说理方式,包括假定一些特殊数值,找出容器与高度的关系,提出图象的变化速率等概念,但在高考的2小时宝贵的时间内,应当寻求最经济思维的解题策略,如此更新观念,认为非形式化的非常规解法是非常必要的。



总之,解答应用题,是一个极其复杂的过程,只要抓住:阅读理解、分析归纳、建立模型、问题解决四个环节,并不断加强对自己所熟悉的信息的反应能力,一定会收到理想的效果。



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