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数学高考中“三新”
更新时间:2003/6/27  作者: 松江一中 陆 炎  阅读:4290次  
纵观近几年的高考试题,可以归纳为“稳中求变,变中求新”八个字。对中学数学中“基础知识、基本技能、基本思想方法”的考查依然是主要切入点,坚持以学生所熟悉的知识内容为背景,以学生所熟悉的数学模型为载体,力争做到不偏、不怪,从而从根本上保证基本题型、题量和题目难度的稳定性,同时又不断求变、求新,每年的试题中都有一定量的改革创新题。关于试题新意,这一点尤其应该引起我们的关注与思考。从前对创新的理解多半停留在形式上、情景上的新颖,这是表面化浅层次的。近几年来,更多地体现为突出数学思想,思维层次,以能力立意命题。另外,还要多关注目前高一年级使用的新教材,新知识,新要求,在具有导向作用的高考中势必会有所体现。

以“能力立意”命题是高考命题的一贯指导思想,体现了数学命题的新方向和新特点—— “考查思维,多思少算”。

近几年来,高考试题中对学生学习能力的考查,是要求学生在规定的时间内,能够理解、掌握,并能运用原来没有接触过的新知识去分析解决一个问题,所要学习掌握的新知识可以是数学概念、定理、法则,也可以是处理问题的数学方法等等。这些学习能力题的特点首先是内容新,都是过去没有学过的新概念定理、公式或方法,要求学生通过学习以后,立即运用它去解决有关的问题。其次抽象性,尤由是考试受到时间、篇幅的限制,这些新知识的叙述通常比较简略,比较抽象,没有过多解释性和说明性语言,有的只是一个简单的例子,就要运用这个新知识去解决一些问题,失去了平时在课堂里教师要反复讲反复练的过程,而要求学生在很短的时间内,独立思考,理解题意,得出结果,这对学生的能力要求很高,往往对于一般同学困难很重,错误率也很高。

学习能力题常见有以下几种情况:

1.新的数学概念

2000年上海春季卷第21题第3小题,对于向量 ={X1, Y1, Z1}, ={X2, Y2, Z2}, ={X3, Y3, Z3}定义一种运算:( × )· =X1Y2Z3+X2Y3Z1+X3Y1Z2-X1Y3Z2-X2Y1Z3-X3Y2Z1,试计算( × )· 的绝对值的值:说明其与四棱锥P-ABCD的体积的关系, 并由此猜想向量这一运算( × )· 的绝对值的几何意义。

首先,要求学生用向量的方法来计算 ( × )· 的值。但这是一个新的概念,只要求学生理解这个等式的意义,模仿它进行计算,而不需要理解这个概念的实质,然后通过两个数量相等的结果,猜测它的几何意义。

2002年上海卷第22题:规定 = , 其中X∈R, M是正整数, 且 =1. 这是组合数 (N、M是正整数, 且M≤N)的一种推广, (1)求 的值; (2)组合数的两个性质① = ② + = 是否都能推广到 (X∈R, M是正整数)的情况?若能推广,则写出推广的形式并给出证明:若不能,则说明理由;(3)已知组合数 是正整数, 证明X∈Z, M是正整数时 ∈Z

这道题是一道综合要求很强的题目,提出了一个崭新的概念,是对以往学到知识的挑战,也是对过去学到的组合数的一个否定,要求学生重新建立起一个新的理论框架,用联想、类比方法,利用新概念对未知领域进行探索,这有利于学生对知识的挑战,是一个从新的定义、方法,到新规则的学习,是获取信息,对信息进行加工提炼的过程,让学生自己完成这个过程,对激发学生求知欲是一种“催化剂”有利于学生今后学习、研究。

高一新教材调研试卷中有一道题:

借助计算机(器)作分段图象时,分段函数的表示可利用“函数” S(X)=1X≥0

0X<0

例如要表示分段函数

G(X)=X X≥2

–X X<2, 可将G(X)表示为G(X)=X·S(X-2)+(-X)S(2-X), 设F(X)=(-X2+4X-3)S(X-1)+(X2-1)S(1-X), 请把函数Y=F(X)写成分段函数的形式。

这道题学生通过模仿,要求学生把F(X)改写为F(X)=-X2+4X-3X≥1

1-XX<1,通过考试,在完成解题过程中,进一步领会了分段函数新的表达形式,打破了过去对知识不变性、专一性,有利于培养学生创新能力,增强对知识渴望。

这类题目常常是一个全新的数学概念,要求学生在理解问题定义、要求的基础上,获取题目所给的信息,研究并解决问题,主要考查学生的理解能力和学习能力,对学生来讲背景公平“题在书外,理在书中”,让学生在理解新概念的前提下,运用新概念解决问题。

2.新命题

2002年高考题第12题:在等差数列{AN}中,若A10=0, 则有等式A1+A2+…+AN=A1+A2+…+A19 (N<19, N∈N)成立, 类比上述性质, 相应地在等比数例 {BN}中, 若B9=1, 则有等式成立。

2001年高考题第11题:已知两个圆X2+Y2=1 ① 与 X2+(Y-3)2=1 ②, 则由①式减去②式可得上述两圆的对称方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为。

2003年春季高考题21题第3小题:已知椭圆具有性质:若M、 N是椭圆C上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点, 当直线PM, PN的斜率都存在, 并记为KPM, KPN时, 那么KPM与 KPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线X2〖〗A2-Y2〖〗B2=1, 写出具有类似特性的性质, 并加以证明。

这类试题考查学生的创新思维,试题中有一个命题,并指定某一个方面特征,要求学生通过类比或推广的方式得出一个正确的新命题,这个新命题通常是中学教学内容中没有的,这就要求探求新思路,用有关数学概念和方法辨清已知命题中条件和结论的关系,再用类比的手段得出新的命题,或更具有一般性的命题,从中能培养学生综合素质的能力,考查学生对数学本质属性的理解和掌握程度及逻辑推理能力。

3.新的方法

2003年春季高考12题:设F(X)=1〖〗2X+2, 利用课本中推导等差数列前N项和的公式的方法, 可求得F(-5)+F(-4)+…+F(0)+…+F(5)+F(6)的值为。

阅读下列不等式的证法:

已知: A1, A2∈R+, A1+A2=1, 求证: A12+A22≥1〖〗2

证明: 构造函数 F(X)=(X-A1)2+(X-A2)2

=2X2-2(A1+A2)X+A12+A22

=2X2-2X+A12+A22

∵ 对一切X∈RF(X)≥0

∴ △=4-8(A12+A22)≤0

从而证得 A12+A22≥1〖〗2

模仿上面的方法:若A1, A2, …, AN∈R+, A1+A2+…+AN=1能否得出一般性结论,并加以证明。

第一个试题利用课本上推导等差数列前N项和的方法求一些函数值的和,主要考查知识发生的过程。我们不仅要学生学会主观性结论,更要了解知识得来的过程,明确知识的适用情境及其来龙去脉,才能使知识构建有序,这对于传统教育中只注重结论,忽略教学过程的实质性与多样性有着根本区别。

第二个试题要求学生根据题中内容和方法,探究未知领域的知识。运用类比的思想方法去解决问题,得出新的结论,主要考查学生学习的能力。新方法是近几年热点,有上升趋势。

高考命题的改革给我们带来了更高的要求,要求我们在教学中加强基础知识的同时,更要重视教学的过程,从过去强调学生学会转向强调学生会学。所谓学会,指的是掌握知识的技能;所谓会学,指的是主动寻求知识的能力。从过去偏重教法转向注重学法,传统教学是“你不会,我教给你”,而变为“你不会学,我教你学会”。要求我们不但研究如何教,更要研究如何学。中国古语云:“授之以鱼不如授之以渔”,强调学习方法的培养,给学生终身学习的能力。

总之,向素质教育转变过程中,应当深入研究教学观念的更新、教学内容的更新、教学方法的更新。布鲁纳认为“所谓知识是过程,不是结论。”所谓学科的教学:“不是灌输作为结果的知识,而是指导儿童参与形成知识的过程,而且思维的过程比结果的学习更为重要。”他提倡以培养探究性思维方法为目的,以基本教材为内容,使学生通过再发现的步骤来进行再学习,学生通过这种发现,不仅可以掌握知识结论,而且还以更多地参与求索知识过程,学到科学家处理信息的方法。

重视“三新”,以“三新”为突破口,全面推进素质教育,使学生基本素质得到全面提高。



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