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| 数学高考中“三新”
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更新时间：2003/6/27 作者： 松江一中 陆 炎 阅读：6494次 |
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纵观近几年的高考试题，可以归纳为“稳中求变，变中求新”八个字。对中学数学中“基础知识、基本技能、基本思想方法”的考查依然是主要切入点，坚持以学生所熟悉的知识内容为背景，以学生所熟悉的数学模型为载体，力争做到不偏、不怪，从而从根本上保证基本题型、题量和题目难度的稳定性，同时又不断求变、求新，每年的试题中都有一定量的改革创新题。关于试题新意，这一点尤其应该引起我们的关注与思考。从前对创新的理解多半停留在形式上、情景上的新颖，这是表面化浅层次的。近几年来，更多地体现为突出数学思想，思维层次，以能力立意命题。另外，还要多关注目前高一年级使用的新教材，新知识，新要求，在具有导向作用的高考中势必会有所体现。
以“能力立意”命题是高考命题的一贯指导思想，体现了数学命题的新方向和新特点—— “考查思维，多思少算”。
近几年来，高考试题中对学生学习能力的考查，是要求学生在规定的时间内，能够理解、掌握，并能运用原来没有接触过的新知识去分析解决一个问题，所要学习掌握的新知识可以是数学概念、定理、法则，也可以是处理问题的数学方法等等。这些学习能力题的特点首先是内容新，都是过去没有学过的新概念定理、公式或方法，要求学生通过学习以后，立即运用它去解决有关的问题。其次抽象性，尤由是考试受到时间、篇幅的限制，这些新知识的叙述通常比较简略，比较抽象，没有过多解释性和说明性语言，有的只是一个简单的例子，就要运用这个新知识去解决一些问题，失去了平时在课堂里教师要反复讲反复练的过程，而要求学生在很短的时间内，独立思考，理解题意，得出结果，这对学生的能力要求很高，往往对于一般同学困难很重，错误率也很高。
学习能力题常见有以下几种情况：
1.新的数学概念
2000年上海春季卷第21题第3小题，对于向量 ={X1, Y1, Z1}， ={X2, Y2, Z2}， ={X3, Y3, Z3}定义一种运算：（ × ）· =X1Y2Z3+X2Y3Z1+X3Y1Z2-X1Y3Z2-X2Y1Z3-X3Y2Z1，试计算（ × ）· 的绝对值的值：说明其与四棱锥P-ABCD的体积的关系， 并由此猜想向量这一运算（ × ）· 的绝对值的几何意义。
首先，要求学生用向量的方法来计算 （ × ）· 的值。但这是一个新的概念，只要求学生理解这个等式的意义，模仿它进行计算，而不需要理解这个概念的实质，然后通过两个数量相等的结果，猜测它的几何意义。
2002年上海卷第22题：规定 = ， 其中X∈R, M是正整数， 且 =1. 这是组合数 （N、M是正整数， 且M≤N）的一种推广， （1）求 的值； （2）组合数的两个性质① = ② + = 是否都能推广到 （X∈R, M是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明：若不能，则说明理由；（3）已知组合数 是正整数， 证明X∈Z, M是正整数时 ∈Z
这道题是一道综合要求很强的题目，提出了一个崭新的概念，是对以往学到知识的挑战，也是对过去学到的组合数的一个否定，要求学生重新建立起一个新的理论框架，用联想、类比方法，利用新概念对未知领域进行探索，这有利于学生对知识的挑战，是一个从新的定义、方法，到新规则的学习，是获取信息，对信息进行加工提炼的过程，让学生自己完成这个过程，对激发学生求知欲是一种“催化剂”有利于学生今后学习、研究。
高一新教材调研试卷中有一道题：
借助计算机（器）作分段图象时，分段函数的表示可利用“函数” S（X）=1X≥0
0X<0
例如要表示分段函数
G(X)=X X≥2
–X X<2, 可将G(X)表示为G(X)=X·S(X-2)+(-X)S(2-X)， 设F(X)=(-X2+4X-3)S(X-1)+(X2-1)S(1-X), 请把函数Y=F(X)写成分段函数的形式。
这道题学生通过模仿，要求学生把F(X)改写为F(X)=-X2+4X-3X≥1
1-XX<1，通过考试，在完成解题过程中，进一步领会了分段函数新的表达形式，打破了过去对知识不变性、专一性，有利于培养学生创新能力，增强对知识渴望。
这类题目常常是一个全新的数学概念，要求学生在理解问题定义、要求的基础上，获取题目所给的信息，研究并解决问题，主要考查学生的理解能力和学习能力，对学生来讲背景公平“题在书外，理在书中”，让学生在理解新概念的前提下，运用新概念解决问题。
2．新命题
2002年高考题第12题：在等差数列{AN}中，若A10=0， 则有等式A1+A2+…+AN=A1+A2+…+A19 (N<19, N∈N)成立， 类比上述性质， 相应地在等比数例 {BN}中， 若B9=1， 则有等式成立。
2001年高考题第11题：已知两个圆X2+Y2=1 ① 与 X2+(Y-3)2=1 ②， 则由①式减去②式可得上述两圆的对称方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为。
2003年春季高考题21题第3小题：已知椭圆具有性质：若M、 N是椭圆C上关于原点对称的两个点， 点P是椭圆上任意一点， 当直线PM， PN的斜率都存在， 并记为KPM, KPN时， 那么KPM与 KPN之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线X2〖〗A2-Y2〖〗B2=1， 写出具有类似特性的性质， 并加以证明。
这类试题考查学生的创新思维，试题中有一个命题，并指定某一个方面特征，要求学生通过类比或推广的方式得出一个正确的新命题，这个新命题通常是中学教学内容中没有的，这就要求探求新思路，用有关数学概念和方法辨清已知命题中条件和结论的关系，再用类比的手段得出新的命题，或更具有一般性的命题，从中能培养学生综合素质的能力，考查学生对数学本质属性的理解和掌握程度及逻辑推理能力。
3．新的方法
2003年春季高考12题：设F(X)=1〖〗2X+2, 利用课本中推导等差数列前N项和的公式的方法， 可求得F(-5)+F(-4)+…+F(0)+…+F(5)+F(6)的值为。
阅读下列不等式的证法：
已知： A1, A2∈R+, A1+A2=1, 求证： A12+A22≥1〖〗2
证明： 构造函数 F(X)=(X-A1)2+（X-A2）2
=2X2-2(A1+A2)X+A12+A22
=2X2-2X+A12+A22
∵ 对一切X∈RF(X)≥0
∴ △=4-8(A12+A22)≤0
从而证得 A12+A22≥1〖〗2
模仿上面的方法：若A1, A2, …, AN∈R+, A1+A2+…+AN=1能否得出一般性结论，并加以证明。
第一个试题利用课本上推导等差数列前N项和的方法求一些函数值的和，主要考查知识发生的过程。我们不仅要学生学会主观性结论，更要了解知识得来的过程，明确知识的适用情境及其来龙去脉，才能使知识构建有序，这对于传统教育中只注重结论，忽略教学过程的实质性与多样性有着根本区别。
第二个试题要求学生根据题中内容和方法，探究未知领域的知识。运用类比的思想方法去解决问题，得出新的结论，主要考查学生学习的能力。新方法是近几年热点，有上升趋势。
高考命题的改革给我们带来了更高的要求，要求我们在教学中加强基础知识的同时，更要重视教学的过程，从过去强调学生学会转向强调学生会学。所谓学会，指的是掌握知识的技能；所谓会学，指的是主动寻求知识的能力。从过去偏重教法转向注重学法，传统教学是“你不会，我教给你”，而变为“你不会学，我教你学会”。要求我们不但研究如何教，更要研究如何学。中国古语云：“授之以鱼不如授之以渔”，强调学习方法的培养，给学生终身学习的能力。
总之，向素质教育转变过程中，应当深入研究教学观念的更新、教学内容的更新、教学方法的更新。布鲁纳认为“所谓知识是过程，不是结论。”所谓学科的教学：“不是灌输作为结果的知识，而是指导儿童参与形成知识的过程，而且思维的过程比结果的学习更为重要。”他提倡以培养探究性思维方法为目的，以基本教材为内容，使学生通过再发现的步骤来进行再学习，学生通过这种发现，不仅可以掌握知识结论，而且还以更多地参与求索知识过程，学到科学家处理信息的方法。
重视“三新”，以“三新”为突破口，全面推进素质教育，使学生基本素质得到全面提高。
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