加强命题研究、训练学生思维
——对探索性数学问题的一些认识
吴木良

初中数学是一门重要的基础工具学科，在以全面提高学生素质为目标的教育改革中，如何培养创新精神和创造能力是素质教育的核心。而对学生的知识和发展进行评价时，常要采用测验、考试的方法，也是把“解题”作为一种重要的检测手段，它是评价学生的认知和发展水平的主要手段。所以，要提高数学学习水平，就必须充分重视解题活动。切实发挥数学题目的潜力和功效。
探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动。近年来，在各类各级考试中经常出现探索性的数学问题，而且所占比重逐年提高。学生通过对问题的探索与研究，可以培养他们思维的敏捷性和深刻性，从而逐步形成他们的创造性思维。因此，我认为平时要重视探索性数学问题的研究和解题实践。把探索性数学问题纳入数学训练体系中，应是非常必要的。
那么，怎样的数学题目是一种探索性数学问题呢？请看以下两个例子：
例：如图，直角梯形abcd中，∠a=∠b=90°。设ab=a，ad=b，bc=2b，作de⊥dc交ab于点e，连结ec。
（1）求证：△dce∽△ade
（2）如果a= ，求证：△dce∽△bce。

这道题目的条件已知明确给出，结论也是知道的，只要求学生运用学过的有关知识，通过一些推理或运算，就能解决。所以这题属于常见的封闭性数学问题。它只需在条件和结论给出的情景中进行由因导果或由果索因的分析，就能解决问题，从而定格于“条件--演绎--结论”这样一个封闭的模式之中。对于这类问题，通过解题活动，可以帮助我们深入理解和巩固所学的数学知识，掌握学过的数学方法，对培养学生的数学能力和提高思维品质也有积极的作用。如果把例子1略加改动，变为如下一道题目：
例2，如图，直角梯形abcd中，∠a=∠b=90°，设ab=a，ad=b，bc=2b，作de⊥dc，交ab于e，连结fc，

（1）对于①△dce和△ade，②△dce和△bce，试判断各组的两个三角形是否一定相似。
（2）如果两个三角形一定相似，请加以证明。
（3）如果不一定相似，请指出当它们相似时a,b应满足什么关系？
把例2与例1比较，这两道目的条件基本上是一样的，但在例2中没有直接给出结论，只是指出了对结论 进行探索的范围和要求。由于a,b的具体数值没有确定，所以相应的图形也是不确定的，这样①，②两组中两个三角形的关系有三种可能性，即一定相似，一定不相似，或不一定相似，例2要求首先要对结论的各种可能性进行判断，然后再作进一步解答。其中就有一个探索发现结论的思维过程，要对结论作出正确的判断，这就需要展开观察，试验，类比，归纳，猜想等探索活动，把直觉思维与逻辑思维有机结合起来。这样的活动，有启迪思维培养能力的作用，具有创造发现的意义，对学生的思维的训练有较高的价值，这样的题目，就是一种探索性的数学问题。
一般来说，探索性数学问题是相对于封闭传统性数学问题而言，它的形式多种多样，难以全面地，完整地概括。笔者根据自己平时的实践积累，认为通常情况下，探索性数学问题有以下几种类型：
一、条件探索型，就是给出了结论，而需要探索发现使结论成立的条件的题目。
例如，例3：在等腰rt△abc中∠c=90°，ac=bc=1，p是ac上不与a、c重合的任意点，pq⊥ab，qr⊥bc，设ap=x，br=y
（1）求y与x之间的函数关系式。
（2）x为何值时，pr∥ab？
（3）x为何值时，ap=pr？

在第（2）、（3）题中要求学生求出使结论pr∥ab，ap=pr成立的条件x的值。这就要求学生对问题作一番探索，寻找使结论成立的条件。对学生的思维要求更高一些。
二、结论探索型，就是条件已有，而结论不明确，或不唯一，而需要探索发现与条件相应的结论的题目。
例如：如图，△abc中，ac=bc，f为底边上一点， ,（m＞0，n＞0），取cf的中点d，连结ad并延长交bc 于点e。
（1）求 的值。
（2）如果be=2ec，那么cf所在的直线与边ab有怎样的位置关系？证明你的结论。

第（2）题是进一步给出条件be=2ec，去探索发现cf所在直线与边ab 有怎样的位置关系的结论，具有一定的开放性。
三、存在探索型：题目的条件已有，要求探索的结论也已给出，要求学生通过探索由这样的条件能否一定能推出所给的结论。
例：在矩形abcd的一边ab上找一点e，使点e与c，d的连线将此矩形分成的三个彼此相似的三角形，这样的e点是否存在？若存在，有几个？请说明理由。
四、判断规律探索型：即满足韪题目的条件，要求学生探索出满足条件的规律性结论。
例如：如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形oab的ab上，有一个动点p，ph⊥oa，垂足为h，△oph的重心为g。

（1）当点p在ab运动时，线段go，gp，gh中有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度。
（2）设ph=x，gp=y，求y与x之间的函数关系式。并写出函数的定义域。
（3）如果△pgh是等腰三角形，试求出线段ph的长。
本题第（1）小题要求学生先根据条件探索线
段go，gp，gh长度不变的线段，然后再进行推理求解。
实质探索的过程本身就是对学生思维活动的培养。


目前，初中数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的。在这种情况下。学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向。而探索性数学问题综合性较强，解题方法独特创新，往往需要通过，观察，试验，分析，比较，类比，归纳，猜测，推断等探索活动，然后解决问题。它不具有定向的解题思路，解题时总要合情合理，实事求是的分析。要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑思维相互结合起来，把数学能力和心理能力同时发挥出来。
因此，通过探索性数学问题的解题活动，不仅可以促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，而且，更加有利于各方面能力的整体发展和思维品质的全面提高，有利于加强主体精神，探究态度，科学方法，创造才能的培养，这正是现在的数学教学中积极引进探索 数学问题的意义之所在，而在测验，考试中引进这类问题，则具有更加全面的检测效果，有正确的导向作用。

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