摘要：

天马山斜塔，即松江佘山镇境内的护珠塔，在南宋绍兴年间建成后，直至今日，虽然塔身已经严重倾斜，但仍旧屹立不倒。这引发了我们的好奇，究竟是什么原因，让这座已经存在了前年之久的高塔斜而不倒。

我们也由此展开研究，通过对周边民众的走访，以及实地的勘察与数学建模的分析，最终得出结论：天马山斜而不倒的原因由多方面组成，如斜塔的地基、建筑材料、自身结构以及其他客观因素等，这些方面的共同作用，使得这座千年古塔至今仍屹立于天马山之上。

关键词：天马山斜塔；倾斜；不倒

一、测量背景

天马山斜塔，即护珠塔。它位于松江区佘山镇天马山中峰，始建于南宋绍兴二十七年(1157年)，建塔人是招抚使周文达。始建成时，为砖木结构楼阁式塔，七级，八面。清乾隆五十三年(1788年)，位于塔前的圆智教寺祭神演戏，燃放爆竹，火星延及塔内，引发大火。这场大火将塔的塔心木，各层楼板、楼梯、斗棋、平座、栏干、木檐、桁、枋、椽子等全部焚毁，以铸铁为主的塔刹也随之坍塌损毁，仅存砖砌塔身。此后，因岩石上夯土塔基年久疏松，致使塔身倾斜。近世，有人发现砖缝中有唐宋钱币，于是挖砖取钱。多年后竟将塔身底层拆去四分之一，掏成一个大窟隆，使古塔岌岌可危。

此后，护珠塔历经二百余年，却仍保持斜而不倒的状态，成为奇迹。1982年6月，经上海市民用建筑设计院勘察队测定，塔身残高18.81米，塔身轴心线向东南偏出2.27米，倾斜度达6"52'52"，在古塔中极为罕见。1982年，上海市文物保管委员会组织建筑专家10余人，成立“护珠塔修缮研究小组”，他们确定了“按现状加固，保持斜而不倒”的修缮方案。修缮中主要加固塔基和塔身，在隐蔽部位施钢砼连接和加固，并更换修补风化剥蚀的塔身部分墙砖。该方案在1984年开工，直至1987年12月竣工。1983年3月，斜塔被公布为上海市文物保护单位。

截至2015年，护珠塔向东偏离2.28米，倾斜度7.10°。由于其斜度已超过了著名的意大利比萨斜塔，故有“上海比萨斜塔”之称，成为上海一大奇观。作为高中生，为获取最新数据，我们小组通过实地勘察，使用各种工具，对天马山斜塔的高度以及倾斜角度等进行实地的测量，并与相关文献中的数据进行对比。我们建立模型，借助参照物、电子设备测量，充分运用所学知识，将理论知识与实践相结合。

二、测量的原理与方法

方法1：

利用影子以及周围物体测量（鉴于当天太阳照射角度正合适）

原理：利用三角函数的知识，以及课本上所教授的一些基本的利用三角函数的测量方法来完成测量。

一般是通过可测定的较小的物体的长度、宽度等，以及可直接测定的角度，进而得出较大物体的高度与倾斜角度。

使用测角仪与平面长度测量工具的比较常见，而鉴于设备条件有限，我们采用的是影子测量法，依靠物体及周围一些参照物的影长，以及可测量的参照物的长度等数据，再利用三角函数的相关知识来计算待测物体的相关数据。

步骤：

建立模型：

首先，想要测定立体空间内实物的大致高度，因时间与工具有限，为达到测量目的，即测得待测数据，我们在观察周围环境之后，首先先将立体空间的模型转化为平面模型，以简便进一步的思考与计算。

经过一系列设想，我们最终决定将斜塔观察起来最倾斜的截面作为我们的平面模型（如下图）。由于太阳照射方向刚好与斜塔倾斜方向基本一致，大大简化了我们的计算与测量过程。然而，仅仅从其中一个模型入手，结合可测量的数据，我们高中阶段目前掌握的三角知识储备无法计算出相关数据；于是，我们同时建立了两个平面模型，为计算提供了更多数据。

最终，我们发现，结合更多的可测数据，以及如下两个模型，可以计算出塔高与倾斜角度。

太阳照射模型：

（红色斜线表示太阳光照射方向，可视为平行光；绿色矩形为修剪方正的草丛，可视为矩形；水平蓝线表示斜塔底面大致与矩形草丛顶面处于同一水平面。

景物参照模型：

简化模型，并得出需要测量的数据：

步骤1中分别建立了两个模型，根据初步推算，可以得到相关数据。而实际计算中，为了使思路更加明朗，并清晰地展示计算过程，我们将实物的平面模型简化为线段表示的图形，并将两个平面模型合并为一张图。

观察简化图形后，我们可以简单地使用平面上的线段与角来表示可测数据与待测数据。

简化图形、待测数据、可测数据与计算过程如下：

需求数据：

斜塔高度AB

可测量数据：

斜塔影长BF，栏杆高度GP，塔底部到栏杆长度BP，栏杆影长PE，PQ，

PF(即BF-BP)

计算：

求得PH，进而求得HQ,AH,BH

通过勾股定理与反三角函数可分别求出塔高与斜塔与水平地面夹角

方法2

通过现场照片，寻找其中参照物帮助测量

原理：利用现场特定角度拍摄的照片，我们在活动结束后，可以使用电脑等电子设备，结合现场测量的一些参照物体的相关数据，对于照片上的实物进行比对等操作，最终测量得出待测数据。

步骤：

拍摄现场照片：

在拍摄时，尽量选择拍摄方便在电脑上等电子设备上进行观察、比对的图片，并且图片中有清晰的、可在实地直接测量的参照物。

寻找图片中可直接测量的参照物，借助测量：

三、测量过程与数据记录

1、工具：皮卷尺、钢卷尺、圆规、角度测量仪、纸、笔、计算器、手机测量软件

2、测量步骤

（1）建立模型

在网上的资料中，我们小组利用网上现有的资源（如图片，现场文字描述等），先大致构造出了天马山斜塔的模型，并完成模型的多次简化。

其次，到达现场后确定测量目标（如方法一所示）

斜塔影长BF，

栏杆高度GP，

塔底部到栏杆长度BP，

栏杆影长PE，PQ，PF(即BF-BP)

（2）进行实地考察、测量与拍摄

到达护珠塔时，我们发现：因为塔四周的石柱呈约正十二边形，便可以利用正十二边形的性质。

我们将塔的底部看作正十二边形的中心进行计算。其中心角约为30度，且中心对称，但因为柱子是有宽度厚度的，所以在用卷尺测量出两根石柱之间的距离时，我们进行了商榷。   

最后，我们决定记录三次测量数据，分别是：

j忽略厚度，将栏杆看作一条线段

k将两根柱子的中心位置相连

l直接测量，用纸笔记录三次数据

获得平均值后，利用三角比的知识，测量出塔到栏杆之间的距离，即BP的长度。而影子的长度BF以及栏杆的高GP、影子长度PQ就可以直接用卷尺测出距离，记录后比对模型，进行计算。

同时，我们从特定角度对天马山斜塔进行了多次拍摄，照片将用于方法2中的后期使用电子设备的比对，进而使用多种方法测得斜塔的高度。

（3）多次测量与计算，得到结果

3、小组分工

模型建立与现场拍摄：潘奕阳

数据的计算与记录：胡珂

测量：郭添吉、黄馨、陈含馨

4、数据记录方式

我们打算先测量并求得相关数据，最终结果使用表格形式呈现：

在现场，小组成员在进行测量时，都拿着工具和纸笔，记录每一次测量的数据。测量同一长度或高度，都会进行平均值的计算。然后利用可测量的数据，进而计算得出待测数据。

在实地考察结束后，我们归纳最终数据，绘制表格。

表格如下：

1、塔高测量

2、倾斜角度测量

我们也进行了访谈，作为实地勘察的结果。

访谈问卷

1.  您的性别（ ）

A.男                B.女

2.   您的年龄（ ）

A.18以下        B.18~25       C.25~35      D.35~50      E.50以上

3. 您是佘山镇本地人吗（ ）

A.是              B.不是

4. 您是否听说过天马山斜塔？（若选B则跳转到第11题）

A.听说过               B.没有

5.  您了解关于天马山斜塔相关方面的历史吗?

A.了解较多             B.了解一点，但说不清             C.基本不了解

6.  您认为您现今天马山斜塔是否有随时倒塌的可能？

A.有，不太安全       B.不太可能      C.不清楚

7.  您对把天马山斜塔“扶直”态度是什么？

A.大力支持       B.不太支持       C.中立

8.  相比于传统的塔，您认为天马山斜塔有什么独特之处？

A.斜而不倒，夺人耳目           B.历史悠久，古典味浓

C.地标性建筑，具有辨识度         D.高耸入云，令人惊叹 

9.  您希望政府继续修缮这座斜塔吗？（若选B则跳转至第11题）

A.希望            B.不太希望            C.无所谓

10.  具体理由是什么？（多选）

A.传承古代建筑        B.防止意外倒塌     C. 它带来的经济效益                D.其他________

11.  您是否有兴趣了解它为何“斜而不倒”的原因？

A.有           B.没有          

通过访谈，我们得知：

（1）几乎所有的佘山本地人都对天马山斜塔有着或浅或深的认识，知道它是在宋朝年间建成，距今也有着千年的历史；

（2）大部分人认为就目前状况来说，天马山斜塔大概率不会倒塌，毕竟它已经屹立了千年之久，经受过无数次狂风暴雨和其他自然灾害，不至于一倒就倒；

（3）参与访谈的人中全员否定了把天马山斜塔“扶直”的想法，他们认为该塔正是因为“斜而不倒”，屹立千年才远近闻名，如果把它修缮好，“扶直”后，就失去了它独特的价值；

（4）被访谈者普遍认为天马山的独特之处在与它的“斜而不倒”，而对于其他诸如“历史悠久”等方面，虽然也有涉及，但前者还是最重要的因素；

（5）对于政府介入修缮这件事，大部分人持支持的态度，他们认为这样的修缮可以缓解该塔倾斜所带来的安全隐患，防止它意外倒塌，带来经济的损失；

（6）很多人还是对于探究它“斜而不倒”的原因抱有很大的兴趣，从这一点上来说是较为乐观的。

总之，通过对民众实地的访谈，使我们了解到人们对于天马山斜塔最真实的看法，这确实给我们的勘察带来了很大的帮助，也更加肯定了我们之后的勘查工作。

四、分析和讨论

1. 数据分析

塔高测量：

倾斜角度测量：

将方法1与方法2的测量结果和官方的数据进行对比，发现方法1的角度测量较为精准，方法2的高度测量较为精准。

2.误差分析

方法1中，之所以对于斜塔倾斜角度的计算较为精确，是因为利用可测数据以及反三角函数的相关知识，我们可以立即求得角度，然后再进而利用角度来计算得到斜塔高度。

在进行过程中，我们对于斜塔四周较小的参照物体，如石栏高度，影子长度等，测量较为准确，误差不大，所以利用这些数据直接求得的倾斜角度也比较精准。

然而，由于斜塔高度相对较高，角度计算的一丝误差都可能导致在高度计算上以米来计的误差；且在该方法中，高度是根据计算而得的倾斜角度推算的，相当于过程中本身就有众多误差的叠加。

同时，在测量环境方面，本身太阳照射方向也几乎不可能与斜塔的倾斜方向完全一致，这势必会造成一定的误差；且随着时间的推移，太阳照射的方向也在不断改变，在加大照射角度带来的误差的同时，也导致我们要不断重复测量影长等与太阳照射相关的数据，在这些反复的测量过程中，误差的产生也不可避免。

方法2中，电脑对比这种方式，本身就对操作者有一定的要求。而拍摄图片这种方法，也会产生一定的误差，这便和照相机的拍摄原理有关了。

照相机等效焦距变化，拍摄出的图像也有所区别：

（图源：知乎）

人的晶状体的等效焦距为大约17.1mm，而一般照相机大约为35mm。观察上图可以发现，我们拍摄的得到的图像，与实际以及肉眼看到的图像是有细微差别的，因此图像本身可能就存在一些误差。

在使用周围参照物体比对时，由于参照物与斜塔位置远近有些许差异，导致其在照片中所成图像大小与实际相比会有些许不同（例如：近大远小等）。因此，在比对的过程中会造成误差的叠加。

3．方法分析

方法1的简便之处主要在于，测量时极其方便，只需要测量一些极短物体的长度。

不过方法1存在一些弊端，例如泛用性不高，受时间以及天气限制；由于太阳照射角度随着时间的改变，需要反复测量。同时，方法1借助公式计算求得塔高；而塔的高度较大，因此角度计算的小小误差也可能对其计算产生影响。

为避免误差，应在多次测量时尽量准确的测量，使用较为精准的测量仪器。在计算时，可以取多位有效数字，并借助计算器运算，尽量保证数据的精确度。

方法2借助手机、电脑的帮助，通过手机照相，以及电脑上对于相片上的比对，可以极其简单的测量出塔高以及塔的倾斜角度。

但是由于拍摄角度，后期比对有时不准确(尤其是倾斜角度的测量)等因素的影响，方法2有时会导致测量结果偏差较大。

为避免误差，可以选取距离斜塔塔身较近的物体作为参照物体，避免位置对于拍摄与测量的影响。此外，应尽量选取高度较大的可测量参照物，可以稍微避免手机镜头的焦距本身带来的误差。

五．结语

对于这样的调查结果，我们小组进行了紧锣密鼓的分析与讨论，试着分析出天马山斜塔为何“斜而不倒”的原因。

1、首先，是因为政府对它的不断修缮。在1982年，上海市文物保管委员会就聘请了上海市民用设计院与同济大学专家组成专家组研究修缮方案，确定好“斜而不倒、修旧如旧”的修缮原则，采用木材支撑及钢筋水泥浇灌基础加固的方案。

该方案在1984年4月动工，总投资30万元。用毛竹4000支、美松30立方米，搭设施工脚手架及竹木支撑架，进行塔基加固。并在塔的周围，先挖土至岩石表层，深1~4米不等，长5~6米不等，然后以塔为核心作放射状，浇灌10根钢筋水泥地梁。再开挖塔墙下层，在墙身下浇灌钢筋水泥圈梁，连接10根地梁和承托整个塔身，成功加固了塔基。

之后，又开始从事塔体的加固工程，在塔各层加钢筋水泥圈梁，再用定烧的墙砖贴面。至1986年底，完成了塔身外表修补施工。最后于1987年，进行环境清理及塔基平面台阶、围栏的施工。1987年12月7日，上海市文物保管委员会在天马乡进行了护珠塔竣工验收仪式，天马山现代的修缮工作也正式完工。

2、其次，是斜塔本身建筑材料的功劳。在北宋时期，人们就开始普遍使用糯米稀饭拌石灰作为胶合材料，用于砌筑砖墙，这种胶合材料看似平平无奇，但是用它砌成的砖结构强度甚至超过现代混凝土，这使得这座古塔屹立千年，依旧具有高强度的韧性，抵御狂风暴雨的侵袭。

3、此外，天马山斜塔的自身结构也很特殊。该塔的塔身是宋代流行的八角形结构，从建筑力学角度看,多角形砖石建筑的抗震性能远高于唐代流行的四方形建筑。并且每层塔门的方向都隔层错开,这使得没开门的那四个墙面像四条腿一样支撑着各自上面的塔身,每层墙面、每个方向都受力均匀,承压合理，因而即使有部分角度的倾斜，整体还能保持一个相对稳定的状态，不至于倒塌。

4、最后，是源于它那稳健的地基。通常来说，塔的倾斜与其土层的不均匀沉降有关，而天马山斜塔斜而不倒的原因又与它的地基密切相关。在1986年，上海市文管委在对护珠塔实施保护工程中，发现塔身上部虽然已经倾斜，但埋人地下的塔基却没有松动，牢牢地攀附在岩石上，地基的牢固程度出乎人们的意料，它确保了整座塔的塔身保持现状，不受重力作用而加剧倾斜角度。

* 5、一些客观因素也对天马山斜塔保持不倒有着间接的影响。因为江浙一带多东南风，而天马山斜塔又建在山顶上，四周空旷，常受到来自东南风力的扶持，这在某种程度上缓解了塔的倾斜。

而通过此次测量的经历，我们小组也有了不少的感悟。

首先，我们明白了在完成实验性研究课题时，组员间的分工合作是必不可少的。在前往实地考察之前，我们就安排好了每个人的分工：设计问卷、现场测量、现场访谈等等，这样一来，我们到达天马山后的效率大大提升，不会出现手忙脚乱的情况，不出40分钟便完成了全部的勘察与访谈任务。由此可见，恰当的组内合作可以提高整个组的高效性，为接下来的讨论等工作争取充足的时间。

其次，在完成课题的过程中，我们组内不免有着各自不同的看法，以及各自对于某一处论文内容的不同见解，此时，相互的理解与包容的重要性就体现了出来。我们虽然有时会执意坚持着自己的观点，但总会去听取一些他人的想法，并想着这两个想法各自的好坏，最后采取一个相对折中的方案，这样即不会使组内出现不必要的矛盾，又使得出的结论因为包含了至少两个人的见解而更具有普适性和科学性。

但在实地勘察的过程中，也有应当反思的点。由于我们起初认为对于天马山的测量并不需要十分专业的仪器，故当时带去的也只是一些基本的测量仪器，如卷尺、圆规、测角仪等，但当我们到达现场后，却发现由于当地的限制，不能过于靠近斜塔，故这些工具只能从相对靠近塔身的位置进行测量，结果必然会造成比较大的误差，影响后续对于数据的分析。因此，对于现场状况的提前预估和恰当工具的选用也应当是我们所提前考虑的因素，这一点在当时并没有着重考虑到，值得反思。

最后，通过这一次研究活动的经验，我们在下一次研究活动中会更加注重预先对于现场的了解，以及考虑各种不可控因素所带来的影响，比如当时的人流量甚至是天气状况等，这些都会或多或少对我们最终的研究结果造成偏差，也是我们必须考虑的东西，只有这样，才能使最终的结论更加精准，完美地完成研究目标。

参考文献

1、《第三次全国文物普查不可移动文物登记----------护珠塔》      国家文物局

2、《干山志》                    松江图书馆

3、《松江府志》                  松江图书馆

4、《上海文物博物馆志》          松江博物馆

5、 知乎网

方法2.

（分别测量）18.9

（分别测量）18.018

（分别测量）17.64

18.186