摘要：天马山斜塔，即松江佘山镇境内的护珠塔，在南宋绍兴年间建成后，直至今日，塔身已经严重倾斜，但仍旧屹立不倒。这引发了我们的好奇，究竟是什么原因，让这座已经存在了千年之久的高塔斜而不倒。在研究其为何斜而不倒的过程中，天马山斜塔的塔高是不可缺少的数据。我们通过前现场，利用卷尺，量角器，铅垂线，细棒等工具，结合三角比，建立数学模型，来测量天马山斜塔的塔高。

关键词：天马山斜塔；三角比；测量。

一、测量背景

护珠塔，又称护珠宝光塔，位于上海市松江区佘山镇天马山景区，北纬31°04'34.6" ，东经121°08'45.4"，海拔高度57米，是上海市文物保护单位。护珠塔始建于南宋绍兴二十七年(1157年)，建塔人是招抚使周文达。原为砖木结构楼阁式塔，七级，八面。清乾隆五十三年(1788年)，位于塔前的圆智教寺祭神演戏，燃放爆竹，火星延及塔内，引发火灾。这场大火将塔的塔心木，各层楼板、楼梯、斗棋、平座、栏干、木檐、桁、枋、椽子等全部焚毁，以铸铁为主的塔刹也随之坍塌损毁，仅存砖砌塔身。此后，因岩石上夯土塔基年久疏松，致使塔身倾斜。近世，有人发现砖缝中有唐宋钱币，于是挖砖取钱。多年后竟将塔身底层拆去四分之一，掏成一个大窟隆，使古塔岌岌可危。至1982年6月，经上海市民用建筑设计院勘察队测定，塔身残高18.81米塔身轴心线向东南偏出2.27米，倾斜度达6"52'52"，为古建筑中所罕见。1982年，上海市文物保管委员会组织建筑专家10余人，成立“护珠塔修缮研究小组”确定“按现状加固，保持斜而不倒”的修缮方案。修缮中主要加固塔基和塔身，在隐蔽部位施钢砼连接和加固，更换修补风化剥蚀的塔身部分墙砖。1984年开工，1987年12月竣工。截至2015年，护珠塔向东偏离2.28米，倾斜度7.10°，其斜度已超过了著名的意大利比萨斜塔，却仍能够屹立不倒，故有“上海比萨斜塔”之称。

二、测量原理和方法

   （一）、原理：三角比

如果三角形的一个角为90度，而另一个角的度数已知，那么第三个角的度数也就固定下来了，这是因为任何一个三角形三个角的度数之和总是180度。这样，两个锐角的度数之和为90度：它们互为余角。这样的三角形形状已经完全确定下来，它们是一组度数相同的相似三角形。在度数确定的情况下，每个边之间的比例也就随之确定，无论三角形大小。如果其中一个边的长度又为已知的话，那么其他两条边的长度也就确定。

正弦函数（sin），定义为该角的对边（opposite）与斜边（hypotenuse）的比例。

余弦函数（cos），定义为该角的邻边（adjacent）与斜边的比例。

正切函数（tan），定义为该角的对边与邻边的比例。

其中，斜边是指直角三角形中90度角所对的边；它是该三角形中最长的边，也是角A的一个邻边。对边是角A所对的一条边。

这些函数的倒数分别被称为余割（csc或cosec）、正割（sec）和余切（cot）：

它们的反三角函数分别为arcsine、arccosine和arctangent。这些函数之间存在的数学关系被称为三角恒等式。

通过使用这些函数，可以回答有关任意三角形的所有问题，只需使用正弦定理和余弦定理。在已知两条边长以及它们夹角的度数，或是两个角的度数以及一条边长，或是知道三边长度后，使用这些法则可以计算出其他角和边。

    （二）、测量方法

先利用卷尺，测量出围栏到塔底的距离并记录。分别在塔底同一平面内，量取距离围栏5米，10米，15米的点。用一根细线悬挂重物，在所取得点处竖直放置量角器。将细棒的一端与圆心重合，从量角器圆心处看，当细棒的两端与塔顶重合时，读出所测量的角度，为该点看塔顶的仰角。由此，可得出三组数据。最后，利用仰角的正切值，可求出塔高。

三、测量过程与数据记录

（一）、工具

五米卷尺，量角器，铅垂线，细棒

（二）、小组分工及规划

1、6月。在确定了研究主题后，进行大致分工。由所有组员赵斯琳、金悦莹、叶静怡、杨俊杰共同查找资料、讨论并确立测量方法。

2、7月7日。赵斯琳、金悦莹、叶静怡前往现场，对实地进行考察。结合已确立的方法与现场实际情况进行试测量。金悦莹负责现场拍照。

3、7月8日～7月20日。所有组员赵斯琳、金悦莹、叶静怡、杨俊杰根据现场的实际情况对之前的方法进行改进，并准备测量所需的工具。

4、7月21日，赵斯琳、叶静怡第二次前往现场，两人共同测量，叶静怡对测量过程进行拍照，赵斯琳进行数据记录。

5、7月30日～8月18日。由所有组员赵斯琳、金悦莹、叶静怡、杨俊杰共同进行数据计算、数据分析与论文撰写。

（三）、步骤

1、使用卷尺测量塔底到围栏的距离。从围栏下方的空隙中，将卷尺伸入围栏内部，一端接触到塔底，读出围栏处卷尺的刻度。

2、确定三点。将卷尺一端固定在围栏处，向外分别量取5米、10米、14米，标记点位。测量塔下台阶的高度。借用细线悬挂重物，做出铅垂线，在标记处向上量取与台阶等高的距离，得出与塔底同一平面内三点。

3、测量角度。用一根细线悬挂重物，做出铅垂线。在所取得的点处根据铅垂线竖直放置量角器。将细棒的一端与量角器的圆心重合，细棒紧贴量角器。视线从量角器圆心处沿着细棒观察，当细棒的两端与塔顶三点一线时，读出细棒所在的刻度，并记录，为该点看塔顶的仰角。

4、数据计算。测量共得出点距塔底距离与点看塔顶的仰角的3组数据。通过使用直角三角形中，正切的公式：

 tanA=a/b

可得：塔高=仰角的正切*点距塔底的距离

分别求出三次塔高，为18.95米、20.17米、19.83米，其平均值为19.65米。

四、分析与讨论

（一）、数据分析

表 1.塔高测量表

	第一次测量	第二次测量	第三次测量	平均值
点距塔底的距离（米）	7.85	12.85	16.85	/
点看塔顶的仰角（度）	67.5	57.5	50	/
塔高（米）	18.95	20.17	19.83	19.65

此次测量共测量了三组数据，第一次测量点距塔底7.85米，点看塔顶的仰角为67.5度，计算得塔高18.95米。第二次测量点距塔底12.85米，点看塔顶的仰角为57.5度，计算得塔高20.17米。第三次测量点距塔底16.85米，点看塔顶的仰角为50度，计算得塔高19.83米。三次测量，塔高的平均值为19.65米。

（二）、误差分析

1、由于卷尺量程为5米，在量取10米，15米的过程中，需要衔接，衔接过程中可能造成误差，标的点实际距塔底的距离比量取的短。

2、细棒无法做到足够细，有一定的宽度，会对角度的测量造成影响。

3、测量工具的最小分度值有限。

（三）、方法分析

1、测量方案的选择

我们起初想到了采用影子测量法计算出塔高，但抵达实地观察环境后发现，周边的围栏以及灌木丛等障碍物，阻碍了我们直接准确地测量出影子的长度，从而我们舍弃了这个方案。

我们想到的第二个方案是利用周边的参照物，拍摄多张照片，利用比例法，通过图上距离与实际距离的比例，来计算出塔高。但由于拍摄出来的照片有一系列问题，如物体拍摄出来近大远小等，计算出来与实际误差较大，我们同样舍弃了这个方案。

我们最后选择利用三角比的办法来计算塔高。通过测量某点距塔底距离与该点看塔顶的仰角，并在直角三角形中，以该角的仰角的正切*该点距塔底的距离来计算出塔高。

2、测量方案的优缺点

优点：简洁，运算简单，只需测量两种数据并且仅使用一个公式就可得出塔高；对测量工具的要求不大。

缺点：不够精确。

3、方案改进

选用量程较大的卷尺，避免衔接卷尺过程中 可能出现的误差；使用更精确、最小分度值更小的仪器。

五、结语

通过此次活动，我们利用一些简单的工具，用自己的方法去测量天马斜塔的塔高。在查找资料、方案讨论的过程中，我们了解了许多相关知识，学会了团队合作。在次对于天马山斜塔的测量中，遇到很多困难，例如围栏的保护使我们无法触及到斜塔。但也在遇到困难及解决困难的过程中得到了许多，为以后的课题学习打下了坚实的基础。这次活动使我们感受到了科学研究的精神，提高了我们的科学素养。希望在未来的研究中，我们能总结经验，有所进步。

点看塔顶的仰角（度）

67.5

57.5

50

/

塔高（米）

18.95

20.17

19.83

19.65