基于APOS理论的概念教学设计：函数的单调性

上海市松江一中   何  霄

函数是整个高中数学的核心概念，而函数的单调性是函数的一个重要概念。函数单调性与不等式、微积分等知识联系广泛，是一个知识的交汇点；也是后继知识的生长点。只有充分理解函数单调性的丰富内涵，才有助于带动学生思维的发展，这也是搞好函数单调性教学的基础。

1.理解单调函数、单调区间的概念，能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。

2.经历函数单调性理解的三个层次“图形化理解→关系化理解→离散化理解”

3.在概念生成的过程中，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.

教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性。

教学难点：领悟函数单调性的概念形成。

 

1.APOS理论简介

APOS理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论，APOS是英文单词action（操作）、process（过程）、object（对象）、scheme（图式）的第一个字母的组合，表示概念学习过程中的每一个阶段。APOS理论认为，概念学习需要经历四个阶段：“操作”阶段进行活动或操作；“过程”阶段对操作的内容反省内化；之后才上升到“对象”阶段；个体在经过以上递进的三个阶段后，就能在建构的基础上进入到“图式”阶段。此时的数学概念是以一种综合的心理图式存在于学生大脑，含有具体的概念实例、抽象过程、完整的定义以及和其他概念的区别和联系等。

APOS理论指出了概念形成的规律性和概念学习的层次性。基于该理论，我们可以设计逐层渐进的概念教学，使学生在“操作”“过程”“对象”“图式”这些阶段中经历抽象概括和自我建构概念的过程，以比较自然的方式提高学生的抽象概括能力。

 

2.基于APOS理论的概念教学设计：函数的单调性

              

 

 

 

 

 

 

（在具体的操作活动中，学生观察体验、归纳概括）

 

⑴函数图像上升

⑵函数图像先下降后上升

⑶函数图像既不上升又不下降

⑴你能把上述函数图像按照变化趋势分成几类？

三类   单一型  混合型（单一型的复合形式）  不变型

我们就以函数图像单一的变化趋势为起点来导入我们的研究。

 

⑴你能用语言来描述x与y的相互关系吗？

   在某个区间内y随x的增大而增大，y随x的增大而减小

⑵“y随x的变化而变化”，反映了运动变化的观点，如何用代数关系来反应“随”？

在某个区间内y随x的增大而增大 

（在某个区间内， ）

在某个区间内y随x的增大而减小 

（在某个区间内， ）

⑶请你观察下面这个函数图像，我们能认定在区间(a,b)内y随x的增大而增大吗？如果不能，在研究函数的上述特性时我们还需关注什么？

还需关注：选取的 的任意性

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑷描述函数的这个特性时，我们需要关注哪些要素？

ⅰ某个区间I，

ⅱ 以及I内 的任意性，

ⅲ 的大小关系。

我们一直关注的这个特性“y随x的增大而增大（减小）”就叫做函数的单调性。

 

 

 

活动4：你能用数学语言来概括函数的单调性吗？

（通过“操作A”与“过程P”，从直观到抽象，对感性素材进行提炼，经历函数单调性理解的三个层次“图形化理解→关系化理解→离散化理解”。）

    

        等等

（对操作形成的感性体验进行概括，生成定义，认识上升到“对象O”阶段）

 

例1：证明函数

 

 

 

证明函数单调性的一般步骤为“一设、二作、三定”

 

例2：⑴你能构造一个二次函数，使它在区间 上单调递增吗？

 

 

 

⑵你能构造一个函数，使它在区间 上单调递增吗？

 

 

 

 

 

（进行变式活动，对操作结果进行概括总结，至此初步的“图式O”已经形成）

⑴由例1，你能得出函数

⑵引申1：已知

      

⑶引申2：若将“引申1中 ”改为“ ”，结论如何？

⑷引申3：你能通过上述两个问题的研究，概括出更一般的规律吗？

（学生在思维操作中沟通了函数奇偶性与单调性的联系，发现函数性质对函数研究的意义。这里初步“图式S”又成为思维新的起点，在问题的驱动下继续完善“图式S”）

 

   

         

 

（师生对函数单调性全面回顾，再次概括）

⑴如果函数 的单调性已知，能否判断函数 的单调性？

 

 

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