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精彩课例
更新时间:2010/2/24  作者:数学教研组 何霄  阅读:3529次  
基于APOS理论的概念教学设计:函数的单调性
上海市松江一中   何  霄
教学内容分析:
函数是整个高中数学的核心概念,而函数的单调性是函数的一个重要概念。函数单调性与不等式、微积分等知识联系广泛,是一个知识的交汇点;也是后继知识的生长点。只有充分理解函数单调性的丰富内涵,才有助于带动学生思维的发展,这也是搞好函数单调性教学的基础。
教学目标设计:
1.理解单调函数、单调区间的概念,能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间,能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。
2.经历函数单调性理解的三个层次“图形化理解→关系化理解→离散化理解”
3.在概念生成的过程中,经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.
教学重难点:
教学重点:函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性。
教学难点:领悟函数单调性的概念形成。
 
1.APOS理论简介
APOS理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论,APOS是英文单词action(操作)、process(过程)、object(对象)、scheme(图式)的第一个字母的组合,表示概念学习过程中的每一个阶段。APOS理论认为,概念学习需要经历四个阶段:“操作”阶段进行活动或操作;“过程”阶段对操作的内容反省内化;之后才上升到“对象”阶段;个体在经过以上递进的三个阶段后,就能在建构的基础上进入到“图式”阶段。此时的数学概念是以一种综合的心理图式存在于学生大脑,含有具体的概念实例、抽象过程、完整的定义以及和其他概念的区别和联系等。
APOS理论指出了概念形成的规律性和概念学习的层次性。基于该理论,我们可以设计逐层渐进的概念教学,使学生在“操作”“过程”“对象”“图式”这些阶段中经历抽象概括和自我建构概念的过程,以比较自然的方式提高学生的抽象概括能力。
 
2.基于APOS理论的概念教学设计:函数的单调性
①“操作A”与“过程P”阶段
活动1:上节课,我们学习了函数的奇偶性,你能判断下面几个函数的奇偶性,并画出它们的图像吗?
              
                            
 
 
 
 
 
 
(在具体的操作活动中,学生观察体验、归纳概括)
 
活动2:以上三个函数的图像不只显示了函数图像的对称性,你能说明上述函数图像从左往右看,在定义域内的变化趋势吗?
⑴函数图像上升
⑵函数图像先下降后上升
⑶函数图像既不上升又不下降
问题引导:
⑴你能把上述函数图像按照变化趋势分成几类?
三类   单一型  混合型(单一型的复合形式)  不变型
我们就以函数图像单一的变化趋势为起点来导入我们的研究。
 
活动3:你能用代数关系式来描述函数具有的这种特性吗?
问题引导:
⑴你能用语言来描述x与y的相互关系吗?
   在某个区间内yx的增大而增大,yx的增大而减小
⑵“y随x的变化而变化”,反映了运动变化的观点,如何用代数关系来反应“随”?
某个区间内yx的增大而增大 
(在某个区间内,
某个区间内yx的增大而减小 
(在某个区间内,
⑶请你观察下面这个函数图像,我们能认定在区间(a,b)内yx的增大而增大吗?如果不能,在研究函数的上述特性时我们还需关注什么?
还需关注:选取的 的任意性
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⑷描述函数的这个特性时,我们需要关注哪些要素?
ⅰ某个区间I,
ⅱ 以及I内 的任意性,
ⅲ 的大小关系。
我们一直关注的这个特性“yx的增大而增大(减小)”就叫做函数的单调性。
 
 
 
②“对象O”阶段
活动4:你能用数学语言来概括函数的单调性吗?
(通过“操作A”与“过程P”,从直观到抽象,对感性素材进行提炼,经历函数单调性理解的三个层次“图形化理解→关系化理解→离散化理解”。)
活动5:你能举出一些已经学习过的单调增函数和单调减函数的例子吗?
    
        等等
(对操作形成的感性体验进行概括,生成定义,认识上升到“对象O”阶段)
 
③初步“图式S”阶段
活动6:你能利用定义证明下面这个函数的单调性吗?
你能总结出证明函数单调性的一般步骤吗?
例1:证明函数
 
 
 
证明函数单调性的一般步骤为“一设、二作、三定”
 
活动7:你能根据要求写出满足单调性条件的函数吗?
例2:⑴你能构造一个二次函数,使它在区间 上单调递增吗?
 
 
 
⑵你能构造一个函数,使它在区间 上单调递增吗?
 
 
 
 
 
(进行变式活动,对操作结果进行概括总结,至此初步的“图式O”已经形成)
④初步“图式S”在新的操作反思中丰富完善
(选用)活动8:我们已经研究了函数的奇偶性与单调性,下面想研究什么呢?
现在你能提出什么问题?
问题驱动:
⑴由例1,你能得出函数
⑵引申1:已知
      
⑶引申2:若将“引申1中 ”改为“ ”,结论如何?
⑷引申3:你能通过上述两个问题的研究,概括出更一般的规律吗?
(学生在思维操作中沟通了函数奇偶性与单调性的联系,发现函数性质对函数研究的意义。这里初步“图式S”又成为思维新的起点,在问题的驱动下继续完善“图式S”)
 
(选用)活动9:你能将已经学习过的函数,按照函数的单调性进行分类吗?
   
         
 
活动10:你能对本节所学的知识和方法做一小结吗?
你认为学习函数单调性有什么意义?
(师生对函数单调性全面回顾,再次概括)
(选用)问题引申:
⑴如果函数 的单调性已知,能否判断函数 的单调性
⑵如果函数 的单调性已知,能否判断函数 的单调性?
⑶如果两个函数的单调性已知,能否判断这两个函数的和、差的单调性呢?如何判断?试证明你的结论。
 
 




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