1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；

2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；

3、灵活运用赋值法、类比猜想、转化、建模等数学思想方法解决抽象函数问题，培养学生合情推理的思维习惯.

教学重点：理解并掌握抽象函数的一般解题策略.

教学难点：如何将抽象问题具体化，突破抽象性，抓住问题实质．

问题1、已知函数 的定义域是（0，+ ），且单调递增,满足 ， 。

（1）求证： ；

（2）求 和 ；

（3）猜想并证明 有什么样的关系；

（4）若 成立，求x的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

问题2、已知函数 ,对任意实数 都有 ，且当 时, ,且 ,试求：

（1）判定函数 的奇偶性、增减性并证明；

（2）求函数 在区间 上的值域.

 

 

 

 

 

 

 

问题3、设函数 定义在R上，对于任意实数m、n，恒有 ，且 .

（1）求证： ，且 ；

（2）求证： 在R上单调递减；

（3）设集合 ，

，若 ，求a的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

探究：已知函数 的定义域关于原点对称，且满足：

（1）

（2）存在正常数a，使

（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；

（2）判断f（x）是否为周期函数？如果是，请求出它的一个周期；如果不是，请说明理由。

 

 

 

 

本节课你学到的知识、方法有哪些：

 

 

 

 

1、已知函数 是定义在R上的奇函数，函数 是 的反函数，若 则 （       ）

A）2        B）0         C）1           D）-2

2、已知 ，都满足 ，且 ，则

=                    

3、已知函数 是定义在（0，+ ）上的增函数，且满足:对任意的 ，都有 ，如 ,解不等式 .

4、已知函数 的定义域为R，当 时, ,且对任意的 ，有 ， ,试证：（1） ；（2） 为单调减函数。

5、已知函数 的定义域为R，都有 且 ， ，当 时， 。（1）判断 的奇偶性；（2）判断并证明 在[0，+ ）上的单调性；（3）如 且 ，求 的取值范围。

.

6、已知f（x）是定义在R上的函数，对任意的x、y∈R都有f（x+y）= f（x）+ f（y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）=－2。问当 时，函数f（x）是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。